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Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen orthogonalen Komplements.

• Definition

• Alternative Formulierung für endlich-dimensionale Vektorräume

• Eigenschaften

• Quellen

Es seien V {\displaystyle V} ein Vektorraum über einem Körper K {\displaystyle K} , U {\displaystyle U} ein Untervektorraum von V {\displaystyle V} und W {\displaystyle W} ein durch die Familie bzw. das System ( w i ) i = 1 , … … , n , w i ∈ ∈ V {\displaystyle (\mathbf {w} _{i})_{i=1,\ldots ,n},\mathbf {w} _{i}\in V} von Vektoren erzeugter Unterraum von V {\displaystyle V} . Dann heißt das System ( w 1 , … … , w n ) {\displaystyle (\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})} Komplementärbasis von U {\displaystyle U} in V {\displaystyle V} , falls diese Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements U ⊥ ⊥ := W {\displaystyle U^{\perp }:=W} bilden.

U ⊥ ⊥ {\displaystyle U^{\perp }} ist also ein komplementärer Unterraum von U {\displaystyle U} und die Vektoren w 1 , … … , w n {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}} bilden dazu eine Basis des orthogonalen Komplements U ⊥ ⊥ {\displaystyle U^{\perp }} .

Seien a 1 , … … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} Skalare aus dem Körper K {\displaystyle K} . Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Lässt sich ein Element u ∈ ∈ U {\displaystyle u\in U} aus der Linearkombination a 1 ⋅ ⋅ w 1 + . . . + a n ⋅ ⋅ w n = u {\displaystyle a_{1}\cdot \mathbf {w} _{1}+\ ...\ +a_{n}\cdot \mathbf {w} _{n}=u} darstellen, so muss folgen, dass u = 0 {\displaystyle u=0} und alle Koeffizienten a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} (für i = 1 , . . . , n {\displaystyle i=1,...,n} ) sind.

2. Die Vektoren w 1 , … … , w n {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}} erzeugen zusammen mit U {\displaystyle U} den Vektorraum V {\displaystyle V} .

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren w 1 , … … , w n {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}} auch linear unabhängig modulo U {\displaystyle U} .)

• Sei V {\displaystyle V} ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und U {\displaystyle U} ein Untervektorraum.

1. Es gilt V = U ⊕ ⊕ U ⊥ ⊥ {\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }} , folglich auch dim ⁡ ⁡ ( U ⊥ ⊥ ) = dim ⁡ ⁡ V − − dim ⁡ ⁡ U {\displaystyle \dim(U^{\perp })=\dim V-\dim U} .

2. Sei ( u 1 , … … , u s ) {\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s})} eine Basis von U {\displaystyle U} . Genau dann ist ( v 1 , … … , v t ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{t})} eine Komplementärbasis von U {\displaystyle U} in V {\displaystyle V} , wenn ( u 1 , … … , u s , v 1 , … … , v t ) {\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{s},v_{1},\ldots ,v_{t})} eine Basis von V {\displaystyle V} ist.

• Jede Folge, die linear unabhängig modulo U {\displaystyle U} ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von U {\displaystyle U} in V {\displaystyle V} ergänzen.

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5. und 7.2